PID & MICRO - 6

La funzione di regolazione ad anello chiuso comprendente i 3 termini (proporzionale, integrativo, derivativo) rappresenta un regolatore dalle caratteristiche universali. Tuttavia certi sistemi possono essere ben controllati anche tramite forme più semplificate della funzione. Infatti, procedendo in modo analogo a quello già descritto, possono essere definiti i regolatori di tipo P (dotati del solo termine proporzionale) ed i regolatori di tipo PI (dotati dei termini proporzionale ed integrativo).
Le relative equazioni discretizzate si ricavano immediatamente da quella del regolatore PID eliminando i termini non previsti. Per quanto riguarda il calcolo dei parametri si possono applicare le adeguate formule di Ziegler e Nichols:

Per quanto riguarda il tempo T di aggiornamento dell'equazione discretizzata valgono le stesse considerazioni del paragrafo precedente. Un regolatore di tipo PD è invece poco conveniente; ciò si deduce dall'analisi, condotta nel prossimo paragrafo, del significato fisico
delle azioni svolte dai 3 possibili termini.

Il termine proporzionale P corregge il valore dell'uscita Y aggiungendo o sottraendo ad esso, ad ogni ciclo di aggiornamento della funzione (tempo T), una quantità pari a K volte la variazione dell'errore rispetto al ciclo precedente, a seconda che tale variazione sia
rispettivamente positiva o negativa. Per esempio in caso di temperatura misurata R costante e set point S fisso risulta un errore X costante: in tal caso non viene apportata alcuna azione correttiva e così anche la Y rimane costante. Se ad un certo punto la temperatura comincia a diminuire ecco che si crea una variazione dell'errore con un relativo incremento a scalini (di ampiezza K volte la variazione) dell'uscita Y. Se a questo punto la temperatura si ristabilizza costante, di nuovo terminano i contributi di tale termine. Infine se la temperatura riaumenta verranno invece tolte delle quantità (di ampiezza K volte la variazione) all'uscita Y ad ogni tempo di aggiornamento T. Per questo motivo una funzione solo con il termine proporzionale può soffrire di difficile convergenza del valore reale R verso il set point S, ossia portare ad errori a regime costanti proprio perchè, come già detto, errori costanti non causano azioni correttive.
Un rimedio all'errore a regime è invece fornito dall'azione del termine integrativo. Infatti il termine integrativo I corregge il valore dell'uscita Y aggiungendo o sottraendo a questa (a seconda del segno di X), ad ogni ciclo di aggiornamento della funzione (tempo T), una quantità pari a (K * T) / TI volte il valore corrente dell'errore X in tale ciclo.

Si intuisce come un errore costante presente per tutto il tempo integrativo TI comporta l'applicazione continua e progressiva dei suddetti piccoli incrementi portando dopo il tempo di integrazione TI un contributo totale alla Y pari a K volte l'errore stesso.
In questo modo il termine integrativo è capace di annullare gli errori a regime facendo convergere la variabile reale R con il set point S. Questa convergenza spesso richiede un certo tempo, dipendente ovviamente dal tempo di integrazione TI. Verrebbe spontaneo quindi
utilizzare dei valori bassi di tale tempo; tuttavia come si deduce dalle equazioni, essendo TI al denominatore, ciò porterebbe ad eccessivi contributi alla Y ad ogni ciclo di aggiornamento dell'equazione con conseguente instabilità del sistema e saturazione dell'uscita Y.
Infine il termine derivativo D corregge il valore dell'uscita Y aggiungendo o sottraendo ad essa, ad ogni ciclo di aggiornamento della funzione (tempo T), una quantità pari a (K * TD) / T volte il valore corrente della variazione della variazione dell'errore rispetto al ciclo
precedente, a seconda che tale variazione sia rispettivamente positiva o negativa. Per esempio in caso di temperatura misurata R costante e set point S fisso risulta un errore X costante; in tal caso non viene apportata alcuna azione correttiva e così anche la Y rimane
costante.
Se ad un certo punto la temperatura comincia rapidamente a cambiare in modo tale che tra due cicli successivi la variazione dell'errore è addirittura aumentata o diminuita, allora viene fornito uno scalino di variazione della Y pari al termine suddetto. Se invece la temperatura varia ma in modo costante il termine derivativo non contribuisce a modificare il valore dell'uscita. Lo scopo di tale termine è quindi quello di rispondere immediatamente a rapide variazioni dell'errore che comportano una sorta di accelerazione o decelerazione di questo. Il termine derivativo opera in pratica come "dumper" nel senso che è capace di smorzare eventuali rapide variazioni dovute a rumore a frequenza alta o ad oscillazioni in corrispondenza a brusche variazioni dell'errore. Un valore elevato del tempo derivativo, essendo TD al numeratore dell'espressione, porta a notevoli contributi alla Y in un solo ciclo di aggiornamento con conseguente saturazione dell'uscita.
Per concludere le considerazioni di tipo pratico possiamo dire che un termine proporzionale elevato sarebbe auspicabile per una pronta risposta del sistema e per un errore a regime basso; un esempio estremo è la regolazione ON-OFF che è veloce in salita (piena potenza), veloce in discesa (potenza nulla) e commuta a cavallo del set point. Tuttavia una regolazione fortemente proporzionale rischia di avere elevate pendolazioni attorno al set point e eccessivi overshoots proprio come la regolazione ON-OFF. Una regolazione ON-OFF corrisponde ad un proporzionale con un guadagno elevatissimo e quindi con una buona eliminazione dell'errore medio a regime se pur con elevate pendolazioni attorno al set point. Diminuendo il guadagno proporzionale l'ampiezza picco-picco delle pendolazioni diminuisce ma il valore medio della temperatura tende a discostarsi dal set point causando un certo errore a regime.
In sistemi dove sia accettabile un compromesso tra le pendolazioni e l'errore a regime, ottenuto con un certo valore di K, può essere sufficiente un regolatore di tipo P. Per eliminare l'errore a regime si può passare al regolatore PI in quanto il termine integrativo è capace di ridurre il valor medio dell'errore. Tuttavia forti presenze di tale termine (si ricordi che il termine contribuisce in modo inversamente proporzionale al tempo TI ) possono aumentare le oscillazioni, gli overshoots e il tempo di salita e discesa della variabile controllata fino ad arrivare all'instabilità.
Per porre rimedio agli aumentati overshoots, come conseguenza dell'introduzione del termine integrativo, si può infine inserire il termine derivativo che si comporta da "damper" ossia da smorzatore delle oscillazioni. Tuttavia aumentando in modo indiscriminato il fattore
derivativo (aumentando il tempo TD) si aumenta il tempo di salita e discesa e si può anche causare instabilità al sistema. Il termine derivativo invece non influisce minimamente sull'errore a regime.